Konduktansi dan Resistansi Rangkaian Paralel

Untuk elemen-elemen yang terhubung paralel, total konduktansi adalah penjumlahan dari konduktansi-konduktansi individu.

Yaitu untuk rangkaian paralel seperti pada Gambar 1, kita dapat menuliskan persamaan;

GT = G1 + G2 + G3 + ... +GN       ……………………………………(1)

Gambar 1. Menentukan konduktansi total

Substitusi nilai resistor untuk rangkaian pada Gambar 1, akan menghasilkan rangkaian seperti pada Gambar 2. Karena G = 1/R maka total resistansi untuk rangkaian paralel dapat ditentukan sebagai berikut:

 ……………………………………(2)

Gambar 2. Menentukan resistansi total

Resistansi total dari resistor yang terhubung paralel nilainya selalu lebih kecil dari nilai resistor yang terkecil. Untuk nilai resistor yang sama terhubung paralel persamaan menjadi lebih mudah. Untuk N resistor yang sama  terhubung paralel persamaan (2) menjadi

                                  ……………………………………(3)

Untuk konduktansi kita dapat tuliskan,

GT = N G                                  ……………………………………(4)

Untuk  dua buah resistor terhubung paralel;

dan

                          ……………………………………(5)

Untuk  tiga buah resistor terhubung parallel:

                ……………………………………(6.a)

 ……………………………………(6.b)

Rangkaian Paralel

Rangkaian paralel yang paling sederhana dapat dilihat pada Gambar 3. Total resistansi adalah RT = R1.R2 /(R1 + R2), dan arus sumber adalah IS=E/ RT. Karena terminal dari baterei dihubungkan langsung pada R1 dan R2 maka dapat disimpulkan :

Tegangan pada elemen-elemen yang terhubung paralel adalah sama.

V1 = V2 = E

Gambar 3. Rangkaian paralel

Jika resistansi total dihitung dan kedua sisi dikalikan dengan tegangan sumber diperoleh:

dan

Substitusi hukum Ohm di atas diperoleh arus sumber :

IS = I1 + I2

Daya yang terdisipasi oleh resistor dan yang dikirim oleh sumber dapat ditentukan dari :

Rangkaian Paralel

Dua elemen, cabang atau rangkaian terhubung paralel jika keduanya memiliki dua titik yang sama.

Misalnya seperti pada Gambar 1, elemen 1 dan 2 mempunyai terminal a dan b yang sama sehingga dapat dikatakan bahwa keduanya terhubung paralel. Pada Gambar 2  semua elemen terhubung paralel karena memenuhi kriteria yang telah disebutkan di atas.

Gambar 1. Elemen yang terhubung paralel

Gambar 2. Tiga cara yang berbeda elemen terhubung paralel

Pada Gambar 3, elemen 1 dan 2 terhubung paralel karena keduanya mempunyai terminal a dan b sama, kombinasi paralel dari 1 dan 2 kemudian seri dengan elemen 3 karena mempunyai titik terminal yang sama yaitu titik b.

Gambar 3. Rangkaian terhubung paralel dan seri

Notasi Sumber Tegangan dan Ground

Simbol untuk hubungan dengan ground diperlihatkan pada Gambar 1.  dimana beda potensial adalah 0 volt.

Gambar 1. Potensial ground

Bila Gambar 1 dihubungkan dengan ground maka dapat digambarkan seperti pada Gambar 2(a), (b), dan (c). Telah diketahui bahwa terminal negatif dari baterei dan ujung  resistor R2 di hubungkan ke ground. Meskipun Gambar 2(c) menunjukkan tidak ada hubungan antara dua ground, namun keduanya terhubung sedemikian rupa sehingga muatan tetap dapat mengalir. Jika E=12 V, maka titik a adalah positif 12 V terhadap potensial ground dan 12 V adalah seri dengan kombinasi R1 dan R2.

Gambar 2. Tiga cara menggambar rangkaian dc seri yang sama

Sumber tegangan yang diperlihatkan pada Gambar 3(a)  dan Gambar 4(a)  dapat diillustrasikan seperti pada Gambar 3(b) dan Gambar 4(b).

Gambar 3. Penempatan notasi khusus untuk sumber tegangan dc dengan simbol standar

Gambar 4. Penempatan notasi untuk suplai dc negatif dengan notasi  standar

Notasi Subskrip Ganda

Tegangan dinyatakan antara dua titik, sehingga memiliki notasi subskrip ganda dimana subskrip pertama sebagai potensial tertinggi. Perhatikan Gambar 5(a), dua titik a dan b yang didefinisikan sebagai tegangan pada resistor R. Karena a adalah subskrip pertama untuk Vab, maka titik a harus mempunyai potensial yang lebih tinggi dari pada titik b, hal ini memungkinkan bila  Vab bernilai positif. Jika ternyata titik b lebih potensial daripada titik a maka Vab bernilai negatif, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5(b).

Gambar 5. Definisi tanda untuk notasi subskrip ganda

Notasi Subskrip Tunggal

Jika titik b dari notasi Vab ditentukan sebagai potensial ground (0 volt), maka notasi subskrip tunggal dapat digunakan yaitu tegangan pada titik a terhadap ground. Pada Gambar 6, Va adalah tegangan dari titik a terhadap ground, yang bernilai 10 V dan Vb adalah tegangan dari titik b terhadap ground yang nilainya 4 V pada tahanan 4 ohm.

Gambar 6. Definisi penggunaan notasi subskrip tunggal

Tegangan Hubungan Seri

Sumber tegangan dalam hubungan seri diperlihatkan pada Gambar 3, dimana pada Gambar 1(a) sumber tegangan saling memperkuat sehingga tegangan total sbb,

Etot = E1 + E2 + E3 = 10 + 6 + 2 = 18 volt

Sedangkan untuk Gambar 1(b) tegangan total adalah

Etot = E2 + E3 – E1 = 9 + 3 - 4 = 8 volt

Gambar 1. Sumber tegangan total

Hukum Kirchhoff  Tentang Tegangan Pada Lintasan Tertutup

Hukum Kirchhoff untuk lintasan yang tertutup dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jumlah seluruh jatuh potensial /tegangan /beda potensial pada suatu jerat/loop sama denga nol.

Secara matematik dapat dituliskan

JP adalah jatuh potensial, yaitu beda potensial dari satu titik  ke titik lainnya. Positif bila kita berpindah dari titik yang berpotensial lebih tinggi ke titik yang potensialnya lebih rendah dan negatif bila sebaliknya. Perhatikan Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2. Beda potensial pada setiap elemen dan jerat

Menurut hukum Kirchhoff, untuk jerat ABEFA berlaku: 

V_AB + V_BE + V_EF + V_FA = 0. 

Karena V_AF = V₁ , maka V_FA = -V₁ , 

sehinga persamaan menjadi : 

V_AB + V_BE + V_EF - V₁ = 0 atau : V_AB + V_BE + V_EF = V₁. 

Demikian juga berlaku untuk jerat ABCDGFA berlaku :

V_AB + V_BC + V_CD + V_DG + V_GF + V_FA  = 0

Karena V_CD = V_2,  V_GF =  -V₃ dan V_FA = -V₁ , maka :

V_AB + V_BC + V₂ + V_DG – V₃ – V₁  = 0. atau

V_AB + V_BC + V_DG = V₁ + V₃ – V₂ .

Demikian pula untuk setiap jerat lainnya dapat dituliskan hukum Kirchhoff yang sesuai untuk masing-masingnya. Sekarang kita ganti elemen-elemen pasif pada rangkaian Gambar 2 dengan R, L dan C tertentu seperti pada Gambar 3.

Untuk jerat ABEFA persamaan jerat akan berbentuk :

Untuk jerat BCDEB persamaannya adalah :

Gambar 3. Jatuh potensial antar simpul dan arus cabang

Untuk jerat DGFED persamaan hukum Kirchhoff mengenai beda potensial adalah :

Rangkaian Seri

Dua elemen dikatakan terhubung seri jika :

a.    Kedua elemen hanya mempunyai satu terminal bersama.

b.    Titik bersama antara elemen tidak terhubung ke elemen yang lain.

Pada Gambar 1 resistor R₁ dan R₂ adalah seri karena keduanya mempunyai titik bersama yaitu b. Ujung lain dari resistor dihubungkan ke titik lain dalam rangkaian. Untuk alasan yang sama, baterei E dan resistor R₁ adalah seri dengan terminal a titik bersama, dan resistor R₂ dan baterei adalah seri dengan terminal c sebagai titik bersama. Dengan demikian ketiga elemen tersebut adalah terhubung seri.

Jika rangkaian pada Gambar 1(a) dimodifikasi sedemikian rupa sehingga resistor R₃ ditambahkan pada titik bersama b seperti yang perlihatkan pada Gambar 1(b) maka R₁ dan R₂ tidak lagi seri karena tidak terpenuhi lagi dua definisi di atas sebagai rangkaian seri.

Gambar 1. (a) Rangkaian seri; (b) kondisi dimana R1 dan R2 tidak seri

Arus dalam hubungan seri adalah sama

Sebuah cabang dari suatu rangkaian memiliki satu atau lebih elemen yang terhubung seri. Pada Gambar 1(a) R₁ adalah cabang dari suatu rangkaian, R₂ adalah cabang yang lain dan baterei adalah merupakan cabang ketiga.

Perhatikan bahwa resistansi total dari suatu rangkaian adalah resistansi dilihat dari sumber ke dalam rangkaian kombinasi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Resistansi total dilihat dari sumber

Untuk elemen rangkaian yang terhubung seri arusnya adalah sama maka tegangan masing-masing resistor dapat dihitung dengan menggunakan hukum Ohm,

V1 = I. R1 , V2 = I.R2 , ..., VN  = I .RN         ..........................................(1)

Daya yang dikirim ke masing-masing resistor dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu dari ketiga persamaan berikut, untuk R1

P = V I = I I R                                              ..........................................(2)

Daya yang dikirim oleh sumber adalah :

P = E. I                                                        ..........................................(3)

Total daya yang di kirim ke rangkaian resistif sama dengan total daya yang di disipasi untuk elemen-elemen resistif yaitu :

 

Ptot = P1 + P2 + P3 + ...+ PN                       ..........................................(4)

Grafik Hukum Ohm

Grafik hukum Ohm tampak pada Gambar 1, dimana sumbu vertikal sebagai arus (ampere) dan sumbu horisontal sebagai tegangan (volt). Grafik pada Gambar 1 dapat dikembangkan, yaitu nilai arus atau tegangan dapat diperoleh dengan mudah dari grafik tersebut. Misalnya V=25 volt maka arus dapat diperoleh  dengan menarik garis horisontal dimana diperoleh arus 5 A sebagaimana ditentukan dari hukum Ohm.

Jika resistansi tidak diketahui, dapat ditentukan dari setiap titik pada grafik garis lurus. Dari grafik dapat diperoleh nilai arus dan tegangan kemudian menyederhanakannya dengan menggunakan persamaan (1).

R = V / I                                             ............. (1)

Gambar 1. Grafik hukum Ohm

Misalnya titik pada grafik Gambar 2 dimana V=20 volt dan I=4A maka resistansi R = 20/4 = 5A. Sebagai perbandingan, resistor 1 ohm dan 10 ohm digambar maka grafiknya akan diperoleh seperti pada Gambar 2, tampak bahwa semakin kecil resistansi maka slope kurva mendekati sumbu vertikal.

Gambar 2. Grafik V-I untuk nilai R=1 Ohm dan R=10 Ohm

Jika hukum Ohm dituliskan sebagai berikut dan dihubungkan dengan persamaan garis lurus adalah

I  =  1/R. E + 0

↓        ↓    ↓     ↓

y =     m. x  +  b

kita peroleh bahwa slope sama dengan satu dibagi dengan nilai R, sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut :

m = slope = ∆y/∆x =∆I/∆V = 1/R          ............. (2)

Dari persamaan (2) dapat dinyatakan bahwa semakin besar resistansi semakin kecil nilai slope.  Persamaan (2) dapat pula digunakan untuk menentukan resistansi dari kurva linier.

R = ∆V/∆I                                           ............. (3)

Dari persamaan (3), dengan memilih ∆V (atau ∆I) tertentu maka dapat diperoleh hubungan ∆I (atau ∆V) dari grafik seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3 kemudian resistansi dapat ditentukan.

Gambar 4. Menggunakan persamaan (2)